高阶单位增益巴特沃斯低通滤波器设计与仿真

高阶（2n）VSVC单位增益巴特沃斯低通滤波器设计，通过分解为 n 个二阶低通滤波器，并对这些二阶低通滤波器的组合进行优化，可提高滤波器的低通特性和稳定性。

串联的传递函数是各个二阶滤波器传递函数的乘积：

\({{\rm{H}}_{2n}}(s) = \prod\nolimits_{i – 1}^n {{H_2}^{(i)}(s)}\)

；

二阶压控电压源低通滤波器的电路图和传输函数如下图所示：



传输函数公式为：

\(H(s) = {{\mathop V\nolimits_o } \over {\mathop V\nolimits_i }} = {{\mathop A\nolimits_F /\mathop R\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 \mathop C\nolimits_2 } \over {\mathop s\nolimits^2 + s({1 \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop C\nolimits_1 }} + {1 \over {\mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 }} + {{1 – \mathop A\nolimits_F } \over {\mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_2 }}) + {1 \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop C\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_2 }}}}\)

；

其中

\(s = j\omega\)

，

\(\mathop A\nolimits_F = 1 + {{\mathop R\nolimits_f } \over {\mathop R\nolimits_r }}\)

；

去归一化低通滤波器的传递函数：

\(H(s) = {{\mathop H\nolimits_0 \mathop \omega \nolimits_0^2 } \over {\mathop S\nolimits^2 + \alpha \mathop \omega \nolimits_0 S + \beta \mathop \omega \nolimits_0^2 }}\)

；

其中

\(\beta \mathop \omega \nolimits_0^2 = {1 \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 \mathop C\nolimits_2 }}\)

，

\(\mathop H\nolimits_0 \mathop \omega \nolimits_0^2 = {{\mathop A\nolimits_F } \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 \mathop C\nolimits_2 }}\)

，

\(\alpha \mathop \omega \nolimits_0 = {1 \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop C\nolimits_1 }} + {1 \over {\mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 }} + {{1 – \mathop A\nolimits_F } \over {\mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_2 }}\)

；

\({\omega _0}\)

是截止角频率，

\(\alpha\)

、

\(\beta\)

是二项式系数，代表不同的滤波特性。

设定

\(\mathop C\nolimits_2 = k\mathop C\nolimits_1\)

，则

\(\mathop H\nolimits_0 = \beta \mathop A\nolimits_F\)

，

\(\beta \mathop k\nolimits^2 \mathop \omega \nolimits_0^2 \mathop C\nolimits_1^2 \mathop R\nolimits_2^2 – \alpha k\mathop \omega \nolimits_0 \mathop C\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 + (1 + k – \mathop A\nolimits_F ) = 0\)

（关于

\({R_2}\)

的二次方程），由于

\({R_2}\)

存在实数解，则 k 必须满足

\(k \le {{\mathop \alpha \nolimits^2 } \over {4\beta }} + \mathop A\nolimits_F – 1\)

;

求解可得：

\(\mathop R\nolimits_1 = {{\alpha \mp \sqrt {{\alpha ^2} – 4\beta (1 + k – {A_F})} } \over {2\beta (1 + \kappa – {{\rm A}_F}){\omega _0}{C_1}}}\)

，

\(\mathop R\nolimits_2 = {{\alpha \pm \sqrt {{\alpha ^2} – 4\beta (1 + k – {A_F})} } \over {2\beta k{\omega _0}{C_1}}}\)

选定

\({C_1}\)

和 k 后，根据计算公式设计任意特性的VSVC低通滤波器。

归一化的巴特沃斯多项式：

对于单位增益

\(\mathop A\nolimits_F = 1\)

，二阶低通，多项式系数

\(\beta=1\)

；

那么

\(\mathop H\nolimits_0 = 1\)

，

\(k \le 0.25{\alpha ^2}\)

（k取值为

\(0.25{\alpha ^2}\)

时，VCVS二阶单位增益低通滤波器同时具有方便、低成本和稳定的优势），并且

\(\mathop R\nolimits_1 = {{\alpha \mp \sqrt {{\alpha ^2} – 4k} } \over {2k{\omega _0}{C_1}}}\)

，

\(\mathop R\nolimits_2 = {{\alpha \pm \sqrt {{\alpha ^2} – 4k} } \over {2k{\omega _0}{C_1}}}\)

。

通常情况下，为设计硬件电路方便，使得

\({R_1} = {R_2}\)

。

\({C_1}\)

的选取一般根据经验公式

\({C_1} \approx {10^{ – 3 \sim – 5}}{f_0}^{ – 1}\)

得出。

这样进一步简化为：

\({C_2} = 0.25{\alpha ^2}{C_1}\)

，

\({R_1} = {R_2} = {2 \over {\alpha {\omega _0}{C_1}}} = {1 \over {\pi \alpha {f_0}{C_1}}}\)

。

另外为运放正端提供回路补偿失调，取定

\({R_f} \ll {R_r},{R_f}//{R_r} \approx {R_f} = {R_1} + {R_2} = {2 \over {\pi \alpha {f_0}{C_1}}}\)

，到此完成了低通二阶巴特沃斯低通滤波器的参数配置。

对于高阶LPF设计，参照多项式系数和设定的截止频率即可完成。

实例仿真设计：

以截止频率为100khz，增益为1，设计四阶巴特沃斯低通滤波器：

四阶低通存在参数：

\({\alpha _1} = 0.7654,{\alpha _2} = 1.8478\)

，f=100khz，取第一级\第二级

\({C_1} = 4.7nF\)

；

得到：

第一级

\({C_2} = 0.68nF\)

，

\({R_1} = {R_2} = 884.8Ω\)

，

\({R_f} = 1769.6Ω\)

；

第二级

\({C_2} = 4.02nF\)

，

\({R_1} = {R_2} = 366.5Ω\)

，

\({R_f} = 733Ω\)

，


\({R_r}\)

取定1MΩ。Multisim仿真如下：

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